Probleme de sinteză – geometrie

Clasa a VII-a

 

  1. Se consideră pătratul ABCD şi punctul E pe latura AB. Diagonala AC taie

segmentul DE în punctul P. Perpendiculara dusă din punctul P pe DE intersectează latura BC în punctul F. Demonstraţi că EF=AE+FC.

(OJM 2008)

  1. Punctul O este intersecţia mediatoarelor laturilor triunghiului ABC. Fie D intersecţia dreptei

AO cu segmentul BC. Ştiind că , să se afle măsurile unghiurilor triunghiului ABC.

(OJM 2007)

  1. Se consideră triunghiul ABC în care M este mijlocul segmentului AB iar D este piciorul bisectoarei din B. Să se arate că dacă MDBD, atunci AB=3BC.

(OJM 2005)

  1. În triunghiul ABC se duce bisectoarea CD unde DAB. Centrul cercului circumscris triunghiului ABC coincide cu centrul cercului înscris triunghiului BCD. Demonstraţi că AC2=AD·AB

(OJM 2005)

  1. Fie ABC un triunghi şi D un punct pe latura BC. Bisectoarele unghiurilor ADB şi ADC

intersectează AB şi AC în punctele M şi N, iar bisectoarele ABD şi ACD intersectează DM şi DN în punctele K şi L, respectiv. Arătaţi că AM=AN dacă şi numai dacă MN şi KL sunt paralele.

(OJM 2004)

6. Se consideră triunghiul dreptunghic isoscel ABC (AB=AC) şi punctele M, Pastfel că AM=BP. Fie D mijlocul laturii BC iar R şi Q intersecţiile perpendicularei din A pe CM cu CM şi respectiv BC. Arătaţi că: a)       b)

(OJM 2004)

 

 

 

 

 

 

Indicaţii / Soluţii:

  1. Construiţi în prelungirea lui BC un segment (CQ)≡(AE) şi demonstraţi că ∆DEF≡∆DFQ
  2. Se tratează problema pe două cazuri: ∆ ascuţitunghic şi ∆ obtuzunghic; a) ∆ABC ascuţitunghic: se

alege de exemplu E mijlocul (DC), ∆ODE echilateral, ∆AOC este dr.isoscel...

b) ∆ABC obtuzunghic:

3. Construiţi MN||BC, NBC, . Triunghiul MBP este isoscel, MDBP. Triunghiurile NDP şi CDB (ULU) sunt congruente, deci ND=DC, ceea ce implică , deci AB=3BC

4. Se demonstrează că unghiurile triunghiului ABC sunt 360, 720, 720. Din asemănarea triunghiurilor CAD şi BCA se obţine relaţia cerută.

5. Demonstraţi că AK şi AL sunt bisectoare şi aplicaţi teorema bisectoarei în ∆AMD şi ∆AND şi reciproca teoremei lui Thales.

6. Fie ordonarea A-M-P-B şi se alege E astfel încât ABEC este pătrat cu centrul D şi şi se demonstrează prin congruenţă de triunghiuri că şi se obţine cerinţa.

Din asemănarea triunghiurilor ADQ şi RQC . Din asemănarea triunghiurilor DRQ şi ACQ se obţin unghiuri congruente, de unde